Что распределение Пуассона означает для счёта
Распределение Пуассона задаёт вероятности целого числа событий за выбранный интервал. В простом футбольном примере событиями считаются голы одной команды за основное время с компенсированными минутами. Параметр λ обозначает ожидаемое число голов за этот период, а не наиболее вероятный точный счёт. При λ = 1,5 команда не должна обязательно забить один или два мяча.
В учебной модели принимается постоянная интенсивность голов. Для совместного счёта дополнительно предполагается независимость числа голов команд. Это сильные упрощения: счёт, удаления, замены и тактические решения способны менять ход встречи. Формула из справочника описывает математическое распределение, она сама не подтверждает пригодность модели к конкретному матчу.
Как вычислить вероятность одного числа голов
Формула имеет вид P(X = n) = exp(−λ) × λⁿ / n!. Здесь n — неотрицательное целое число, exp — экспонента, n! — факториал, причём 0! = 1. Все вероятности рассчитаны при уже заданном λ, поэтому точность вычисления не устраняет ошибку самого исходного параметра.
Зададим полностью условные ожидания: у хозяев λ = 1,5, у гостей λ = 1,0 гола за основное время. Для хозяев вероятность двух голов равна exp(−1,5) × 1,5² / 2 = примерно 0,2510. У гостей вероятность одного гола равна exp(−1) = примерно 0,3679. Ни текущие команды, ни реальные коэффициенты в этом примере не используются.
| Голов n | Хозяева, λ = 1,5 | Гости, λ = 1,0 |
|---|---|---|
| 0 | 22,31% | 36,79% |
| 1 | 33,47% | 36,79% |
| 2 | 25,10% | 18,39% |
| 3 | 12,55% | 6,13% |
Как перейти от голов команды к счёту 2:1
Только при принятой независимости P(2:1) = P(хозяева забьют 2) × P(гости забьют 1). Получается примерно 0,2510 × 0,3679 = 0,09235, или 9,23%. Вероятность 0:0 по той же модели равна exp(−2,5), приблизительно 8,21%. Независимость нужна для умножения, её нельзя считать доказанной лишь потому, что голы записаны в разных столбцах.
Таблица до трёх голов не содержит всех возможных счётов. Вероятность четырёх и более голов не равна нулю. Если построить ограниченную сетку и просто объявить сумму её ячеек равной 100%, получится искажённое распределение. Для вычисления исхода складывают подходящие ячейки с контролем оставшегося хвоста, а не выбирают только самый красивый счёт.
Пример вероятности тотала больше 2,5
В той же независимой модели сумма голов имеет параметр 1,5 + 1,0 = 2,5. Вероятность максимум двух голов равна exp(−2,5) × (1 + 2,5 + 2,5² / 2), приблизительно 54,38%. Значит, вероятность минимум трёх голов составляет 45,62%. Это ответ модели на заданные предположения, а не измеренный шанс реальной встречи.
Обратная величина 1 / 0,4562 даёт модельную цену около 2,19 без маржи. Такое число нельзя называть доступным коэффициентом букмекера. Перевод цены и вероятности разобран в формуле 1 / коэффициент, а маржа полного рынка относится к другому этапу сравнения.
Откуда взять λ и почему простого среднего мало
Среднее число голов прошлых игр можно использовать как исходную оценку, но нужно указать период выборки, домашние и гостевые условия, соперников и изменения состава. Десять матчей против слабых команд не дают автоматически параметр для игры с сильным соперником. Смешение кубков, товарищеских встреч и чемпионата меняет задачу.
Показатель ожидаемых голов xG также не является готовой заменой λ следующей встречи. Он получен в собственной модели ударов и требует отдельного обоснования переноса на будущий матч. Предположение о валуе остаётся зависимым от качества такой оценки.
Как проверить ограничения до применения
Сначала на прошлых данных задают способ оценки параметров, затем проверяют его на более поздних матчах, которые не использовались для настройки. Сравнивают не только точные попадания в счёт, но и соответствие прогнозных вероятностей наблюдаемым частотам на достаточной выборке. Подбор λ после известного результата не является прогнозом.
Сохраните исходные данные, время их получения, версию формулы и ошибки проверки. Если невозможно подтвердить независимость, стабильность интенсивности или качество параметров, корректный вывод — ограниченная применимость модели. Сам расчёт можно воспроизвести без заключения пари. Математическое ожидание также требует обоснованной вероятности и не исправляет ошибочный вход.